大家好，关于什么叫代数很多朋友都还不太明白，今天小编就来为大家分享关于数学代数有关冷知识的知识，希望对各位有所帮助！

本文目录

1. 什么叫代数
2. 关于根号的基本知识
3. 代数几何为什么难学
4. 外代数那些内容看不懂

什么叫代数

代数是研究数学结构中的符号和数学表达式的一门学科。它涉及到各种代数运算，如加、减、乘、除、求根、指数等，以及数学中的符号和变量，如x、y、z等。代数研究的对象包括代数方程、代数函数、向量空间、群、环和域等数学结构。代数在数学、物理、工程学和计算机科学等领域中得到广泛应用。

关于根号的基本知识

根号是一个代表平方根的数学符号，通常写成√，表示取被开方数的正平方根。例如，√4=2，因为22=4。同样地，√9=3，因为32=9。在数学中，根号具有一些基本的性质，如下：-根号的运算可以与乘法和除法结合，即√(ab)=√a×√b和√(a/b)=√a/√b。-不同的根号可以合并到同一个根号中，即√a+√b=√(a+b)。但是，同一个根号内不同的项不能合并。-根号可以用指数形式表示，即√a=a^(1/2)。总的来说，根号是基本的数学符号，广泛应用于各种数学问题的解决中，例如计算面积、体积，求解方程等等。

代数几何为什么难学

代数和几何属于数学学科，代数重在演算及代数知识的实际应用，几何重在逻辑推理和几何证明。代数知识点多，把知识点应用到解决实际问题这个转化难度相当大。而几何需要熟记的定理、图形的性质以及几何公理多，证明题的分析难度也大，加之这两科学习起来枯燥无味，学生易产生厌学情绪，所以难学。

外代数那些内容看不懂

（小石头尝试着来回答这个问题！）

设V是数域K上的n维线性空间，定义在V上的r（≥1）元函数f:V?→K，如果，对于每个参数都可以保持线性运算（称为线性性），即，（对于任意x,y∈V,k∈K,1≤i≤r）

f(x1,...,x?=x+y,...,x?)=f(x1,...,x,...,x?)+f(x1,...,y,...,x?)

f(x1,...,x?=kx,...,x?)=kf(x1,...,x,...,x?)

则，称f是r元线性函数。

一般，称1元线性函数为（单）线性函数，2元线性函数为双线性函数，2元以上的线性函数为多线性函数。

给定任意r≥0，将全体r元线性函数，记为V?，这里规定V?=K，即，0元线性函数就是K中的常数。

注意：V?=V*是V的对偶空间。关于对偶空间的详细介绍可以参考小石头的另一个回答：怎么形象地理解对偶空间？

在V?上定义线性运算（对于任意f,g∈V?,k∈K）：

加法：(f+g)(x1,...,x?)=f(x1,...,x?)+g(x1,...,x?)

数乘：(kf)(x1,...,x?)=kf(x1,...,x?)

则V?构成一个线性空间。

我们也将V?中的r元线性函数称为r阶（协变）张量，对于任意张量f∈V?和g∈V?可以定义一种积运算：

(f?g)(x1,...,x?,x??1,...,x???)=f(x1,...,x?)g(x??1,...,x???)

称?为张量积。

显然，对于每个参数1≤i≤r，f?g满足线性性，因为：

(f?g)(x1,...,x?=x+y,...,x?,x??1,...,x???)=f(x1,...,x?=x+y,...,x?)g(x??1,...,x???)=(f(x1,...,x,...,x?)+f(x1,...,y,...,x?))g(x??1,...,x???)=f(x1,...,x,...,x?)g(x??1,...,x???)+f(x1,...,y,...,x?)g(x??1,...,x???)=(f?g)(x1,...,x,...,x?,x??1,...,x???)+(f?g)(x1,...,y,...,x?,x??1,...,x???)

(f?g)(x1,...,x?=kx,...,x?,x??1,...,x???)=f(x1,...,x?=kx,...,x?)g(x??1,...,x???)=kf(x1,...,x,...,x?)g(x??1,...,x???)=k(f?g)(x1,...,x,...,x?,x??1,...,x???)

对于每个参数r+1≤i≤r+u，f?g也满足多线性性（原因和上面类似），故，f?g∈V???是一个r+u阶张量。

如果，令G=V?∪V?∪?，则?在G中封闭，是G上的二元运算?:G×G→G。

同时，我们将上面V?中定义加法运算扩展到G上：对于张量f∈V?和g∈V?，不妨设r<u，则可以令，

f'(x1,...,x?,0,...,0)=f(x1,...,x?)

其中，u-r个0。于是f'∈V?，这样利用V?的加法运算，得到新的定义：

(f+g)(x1,...,x?,...,x?)=(f'+g)(x1,...,x?,...,x?)=f'(x1,...,x?,0,...,0)+g(x1,...,x?,...,x?)=f(x1,...,x?)+g(x1,...,x?,...,x?)

注意：这里并没有将V?中数乘运算引入G，因为：kf=k?f，f∈V?，k∈K=V?。

这样G上就同时具有加法+和张量积?两种运算，并且具有如下性质（对于任意f,g,h∈G）：

加法结合律：((f+g)+h))(...)=(f+g)(...)+h(...)=(f(...)+g(...))+h(...)=f(...)+(g(...)+h(...))=f(...)+(g+h)(...)=(f+(g+h))(...)；

加法交换律(f+g)(...)=f(...)+g(...)=g(...)+f(...)=(g+f)(...)；

张量积结合律：((f?g)?h))(...)=(f?g)(...)h(...)=(f(...)g(...))h(...)=f(...)(g(...)h(...))=f(...)(g?h)(...)=(f?(g?h))(...)；

分配律：

((f+g)?h)(...)=(f+g)(...)h(...)=(f(...)+g(...))h(...)=f(...)h(...)+g(...)h(...)=(f?h)(...)+(g?h)(...)；

((f?(g+h)(...)=f(...)(g+h)(...)=f(...)(g(...)+h(...))=f(...)g(...)+f(...)h(...)=(f?g)(...)+(f?h)(...)；

考察?的交换律，对于k∈V?=R和任意f∈V?来说，?是满足交换律的：

(k?f)(x1,...,x?)=kf(x1,...,x?)=f(x1,...,x?)k=(f?k)(x1,...,x?)

但，对于任意f∈V?(r≥1)和g∈V?(u≥1)，有，

(f?g)(x1,...,x?,x??1,...,x???)=f(x1,...,x?)g(x??1,...,x???)=g(x??1,...,x???)f(x1,...,x?)=(g?f)(x??1,...,x???,x1,...,x?)

而，交换律要求满足：

(f?g)(x1,...,x?,y1,...,y?)=(g?f)(x1,...,x?,y1,...,y?)

所以，?不一定满足交换律，除非满足条件①：

(g?f)(x??1,...,x???,x1,...,x?)=(g?f)(x1,...,x?,y1,...,y?)

设，ω?={1,2,...,r}，则可以定义双射s:ω?→ω?，称s是ω?的一个置换，我们将，ω?的所有置换组成的集合，记为Ω?。

每个置换s∈Ω?都对应一个ω?的全排列：s(1)s(2)?s(r)。

考虑r和u的任意性，上面的条件①等价于条件①'：对于任意f∈V?，s∈Ω?，都有，

f(x1,x2,...,x?)=f(x??1?,x??2?,...,x????)

称满足这样条件的函数为对称函数。

一般的线性函数f是不满足上面条件的，但我们可以将f的所有参数置换后的函数进行算术平均，得到一个新函数：

S?(f)显然是对称的，称S?:V?→V?为对称化算子。

关于交换律和对称函数，我们就讨论到这里打住，这不是外代数的重点。

我们发现，上面的等价条件①'还可以进一步简化为：对于任意f∈V?，交换任意相邻的两个参数，函数值都保持不变，即，对于任意1≤i<r，有，

f(x1,...,x?,x??1,...,x?)=f(x1,...,x??1,x?,...,x?)

对这个条件稍作改进，得到一个新条件②：让交换f∈V?任意相邻的两个参数后函数都相反，即，对于任意1≤i<r，有，

f(x1,...,x?,x??1,...,x?)=-f(x1,...,x??1,x?,...,x?)

满足条件②的函数被称为反对称函数。

由反对称函数的条件我们不难证明：

其中，N(s(1)s(2)?s(r))表示s(1)s(2)?s(r)的逆序数。这样以来，仿照f的对称化算子，我们可以定义f的反对称化算子A?:V?→V?如下：

反对称函数f具有一个重要的性质③：任意两个不同参数值相当时，函数值必然为零，即，

f(x1,...,x,...,x,...,x?)=0

因为任意位置的两个参数都可以替换为相邻两个参数，因此我们只需要证明：相邻两个参数相等函数值为零，就可以了，而根据条件②有，

f(x1,...,x,x,...,x?)=-f(x1,...,x,x,...,x?)

f(x1,...,x,x,...,x?)+f(x1,...,x,x,...,x?)=2f(x1,...,x,x,...,x?)=0

f(x1,...,x,x,...,x?)=0

设e?,e?,...,e_n是n维度线性空间V的一组基，对于任意f∈V?，以及V中的任意r个向量，

利用根据f的多线性性，有④，

定义函数e?:V→K，如下：

则，e?为向量的坐标分量索引函数，因为，对于任意向量x=x?e?+x?e?+...+x_ne_n有：

e?(x)=e?(x?e?+x?e?+...+x?e?+...+x_ne_n)=x?e?(e?)+x?e?(e?)+...+x?e?(e?)+...+x_ne?(e_n)=x?0+x?0+...+x?1+...+x_n0=x?

又由于，

e?(x+y)=e?((x?,...,x_n)+(y?,...,y_n))=e?((x?+y?,...,x_n+y_n))=x?+y?=e?(x)+e?(y)

e?(kx)=e?(k(x?,...,x_n))=e?((kx?,...,kx_n))=kx?=ke?(x)

所以e?是线性函数，即，e?∈V?。

利用，新定义的索引函数，可以改写④为④'：

可以证明：e1???e1,...,e????e?是线性无关，因此它是V?的一组基，V?的维度是n?。

我们，用E??V?表示V?中反对称函数的全体，显然，对于r＜2谈不上交换参数，于是，E?=V?，E?=V?。

对于任意f∈V?，根据公式③，从④的结论处继续，有，

回忆，《线性代数》中行列式的定义，我们发现上面圆括号中的累积表达式，就是行列式，即，

同时，利用张量积和反对称算子，这个累积表达式还可以进一步，改写：

记，

则，得到⑤，

可以证明C(n,r)个e???1?∧e???2?∧?∧e?????是线性无关，因此它们是E?的一组基，进而E?是维度为C(n,r)的线性空间。

将，G中所有反对称多线性函数组成的集合，记为E，则

E=E?∪E?∪?∪E_n∪E_n+1∪?

考虑，对于任意f∈V?，当r>n时，任意一组参数x1,x2...,x?∈V，由于r大于V的维度，所有这组参数必然线性相关，不妨设，x1=a?x2+...+a?x?，带入f，再根据f的线性性，有：

f(x1,x2...,x?)=f(a?x2+...+a?x?,x2...,x?)=a?f(x2,x2...,x?)+...+a?f(x?,x2...,x?)=a?0+...+a?0=0

也就是说，当r>n时，f(x1,x2...,x?)=0，为常零函数。常零函数，当做0看待，于是E_n+1=...={0}?E?，进而，有，

E=E?∪E?∪?∪E_n

于是，E是一个维度为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2?的线性空间。

在E中，对于任意f∈E?和g∈E?定义运算：

称∧外积，(E,+,∧)为一个外代数。

基于?的分配律，可以推导出∧也满足分配率（设，任意h∈E?）：

(f+g)∧h=f∧h+g∧h

f∧(g+h)=f∧g+f∧h

由外积的定义，知道(f∧g)(x1,...,x?,x??1,...,x???)=(g∧f)(x??1,...,x???,x1,...,x?)，而

(g∧f)(x??1,...,x???,x1,...,x?)=(-1)?(g∧f)(x1,x??1,...,x???,x2,...,x?)=(-1)2?(g∧f)(x1,x2,x??1,...,x???,x3...,x?)=...=(-1)??(g∧f)(x1,...,x?,x??1,...,x???)

故，我的得到：

g∧f=(-1)??g∧f

这称为反交换律。特别地，对于任意f,g∈V?有，

f∧g=-g∧f

再考虑，结合律，有，

(f∧g)∧h=f∧g=(r+u+v)!/(r+u)!v!?A?????((f∧g)?h)=(r+u+v)!/(r+u)!v!?A?????(((r+u)!/r!u!?A???(f?g))?h)=(r+u+v)!/(r+u)!v!?(r+u)!/r!u!?A?????(A???(f?g)?h)=(r+u+v)!/r!u!v!?A?????(A???(f?g)?h)

令a???(f?g?h)是对f?g?h的前r+u个参数进行部分反对称化，则，

A?????(A???(f?g)?h)=A?????(a???(f?g?h))=(A?????°a???)(f?g?h)

注意，A?????的操作依赖于全体s∈Ω?????，a???的操作依赖于全体s'∈Ω'?????={s∈Ω?????|s(r+u+i)=r+u+i,i=1,...,v}因为Ω'??????Ω?????，所有A?????°a???操作依赖于全体s°s'∈Ω?????，这说明A?????=A?????°a???，即，反对称算子的性质⑥，

A?????(A???(f?g)?h)=A?????(f?g?h)

于是，我们得到公式：

(f∧g)∧h=(r+u+v)!/r!u!v!?A?????(f?g?h)

同理，可以证明：

f∧(g∧h)=(r+u+v)!/r!u!v!?A?????(f?g?h)

故，∧满足结合律：

(f∧g)∧h=f∧(g∧h)=f∧g∧h

利用∧结合律和性质⑥，对于一组f?∈E??,i=1,...,v，不难得出：

f1∧...∧f??=(r?+...+r?)/r?!?r?!?A???...???(f1?...?f??)

于是，有，

e???1?∧e???2?∧?∧e?????=(1+1+...+1)!/1!1!?1!?A????...??(e???1??e???2????e?????)=r!A?(e???1??e???2????e?????)

这说明，公式⑤处的记号，兼容上面的∧定义。同时，根据公式⑤，每一个参与外积的反对称线性函数都是基e1，e,...,e?的线性组合，于是，其实我们只需要定义出∧关于基的性质，也就定义等于定义了一个外代数。

设，V是K上的n维线性空间，e1，e,...,e?为V的一组基，令，E?(1≤r≤n)是以，

为基的C(n,r)维线性空间，并令E?=K。将这些线性空间的直和构成的2?维线性空间，记为，

称，E上的二元运算∧为外积。∧满以下条件（对于任意1≤i,j,k≤n）：

结合律：(e?∧e?)∧e?=e?∧(e?∧e?)；

反交换律：e?∧e?=-e?∧e?；

分配律：(e?+e?)∧e?=e?∧e?+e?∧e?；

称由∧构成的表达式称为外形式，(E,+,∧)外代数，也叫Grassmann代数。

这样，我们就得到了一个抽象化的外代数，上面用张量积定义的外代数只是Grassmann代数的一种实现。

到这里，关于外代数的知识，就基本介绍完了。下面列举一个具体实例，作为结尾：

考虑，V是三维欧式空间R3，e?=(1,0,0),e?=(0,1,0),e?=(0,0,1)组成R3的一组标准正交基，对于任意向量x1=x??e?+x??e?+x??e?和x2=x??e?+x??e+x??e?，

当f∈V?时，有，

f(x1,x2)=f(x??e?+x??e?+x??e?,x??e?+x??e?+x??e?)

=x??f(e?,x??e?+x??e?+x??e?)+x??f(e?,x??e?+x??e?+x??e?)+x??f(e?,x??e?+x??e?+x??e?)

=x??(x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?))+x??(x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?))+x??(x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?)+x??f(e?,e?))

=x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)

令，

a??=f(e?,e?),a??=f(e?,e?),...,a??=f(e?,e?)

再利用上面的向量坐标分量函数e1,e2,e3，我们得到：

f(x1,x2)=

a??e1(x1)e1(x2)+a??e1(x1)e2(x2)+a??e1(x1)e3(x2)+

a??e2(x1)e1(x2)+a??e2(x1)e2(x2)+a??e2(x1)e3(x2)+

a??e3(x1)e1(x2)+a??e3(x1)e2(x2)+a??e3(x1)e3(x2)

=

(a??e1?e1+a??e1?e2+a??e1?e3

+a??e2?e1+a??e2?e2+a??e2?e3

+a??e3?e1+a??e3?e2+a??e3?e3)(x1,x);

可见，e1?e1,...e3?e3是V?的基。

当f∈E?时，有，

f(x1,x2)=x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)

=x??x??0+x??x??f(e?,e?)+x??x??f(e?,e?)-x??x??f(e?,e?)+x??x??0+x??x??f(e?,e?)-x??x??f(e?,e?)-x??x??f(e?,e?)+x??x??0

=(x??x??-x??x??)f(e?,e?)+(x??x??-x??x??)f(e?,e?)+(x??x??-x??x??)f(e?,e?)

即，

同时，又有，

f=(e1?e2-e2?e1)f(e?,e?)+(e2?e3-e3?e2)f(e?,e?)+(e1?e3-e3?e1)f(e?,e?)

=2A?(e1?e2)f(e?,e?)+2A?(e2?e3)f(e?,e?)+2A?(e1?e3)f(e?,e?)

=f(e?,e?)e1∧e2+f(e?,e?)e2∧e3+f(e?,e?)e1∧e3

=a??e1∧e2+a??e2∧e3+a??e1∧e3

可见，e1∧e2,e2∧e3,e1∧e3是E?的基。相应地，

E?的基是1;

E?的基是e1,e2,e3;

E?的基时e1∧e2∧e3;

这些基一定是线性无关的，因为，如果

A+Be1+...+Ee1∧e2+...+He1∧e2∧e3=0

等式两个同时外乘以e1∧e2∧e3，得到：

Ae1∧e2∧e3+Be1∧e1∧e2∧e3+...+Ee1∧e2∧e1∧e2∧e3+...+He1∧e2∧e3∧e1∧e2∧e3=0

Ae1∧e2∧e3=0

A=0

于是等式改为为：

Be1+...+Ee1∧e2+...+He1∧e2∧e3=0

等式两边同时外乘以e2∧e3，得到：

Be1∧e2∧e3+...+Ee1∧e2∧e2∧e3+...+He1∧e2∧e3∧e2∧e3=0

Be1∧e2∧e3=0

B=0

用类似的方法，最后就得到：

A=B=...=E=...=H=0

（最后，小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）

补充（2020/3/27)：

证明C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2?可以利用二项式定理，也可以用归纳法：

当n=1时，C(1,0)+C(1,1)=1+1=2=21，公式成立。

当n时，公式成立，当n+1时，利用（0<m≤n），

C(n+1,m)

=(n+1)!/m!(n+1-m)!

=(n+1)n!/m!(n-(m-1))!

=(m+n-(m-1))n!/m!(n-(m-1))!

=mn!/m!(n-(m-1))!+(n-(m-1)))n!/m!(n-(m-1))!

=n!/(m-1)!(n-(m-1))!+n!/m!(n-m)!

=C(n,m-1)+C(n,m)

有，

C(n+1,0)+C(n+1,1)+C(n+1,2)+...+C(n+1,n)+C(n+1,n+1)

=C(n+1,0)+C(n,0)+C(n,1)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)+C(n,n)+C(n+1,n+1)

=C(n+1,0)+C(n,0)+2C(n,1)+2C(n,2)+...+2C(n,n-1)+C(n,n)+C(n+1,n+1)

=C(n,0)+C(n,0)+2C(n,1)+2C(n,2)+...+2C(n,n-1)+C(n,n)+C(n,n)

=2C(n,0)+2C(n,1)+2C(n,2)+...+2C(n,n-1)+2C(n,n)

=2(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)+C(n,n))

=22?=2??1

好了，文章到这里就结束啦，如果本次分享的什么叫代数和数学代数有关冷知识问题对您有所帮助，还望关注下本站哦！